El valor de \(R_t\) representa el número esperado de casos secundarios que surgen de un caso primario infectado en el momento \(t\). Este valor cambia a lo largo de un brote. Si el valor de \(R_t\) permanece por debajo de uno, el brote se extinguirá. Sin embargo, cuando \(R_t\) es mayor que uno, es probable que se produzca un brote sostenido. El objetivo de las intervenciones de control es típicamente reducir el número de reproducción por debajo de uno (Thompson et al. 2019).
Método de estimación aplicado (A. Cori et al. 2013; Thompson et al. 2019) permite la inclusión de los casos importados y que se puede estimar el intervalo serial a partir de seguimiento de casos y también incluir variablidad en la distribucion del intervalo serial cuando se asume una distribución gamma discreta.
Un parametro importante es el ‘Serial interval’ (SI). El SI es el tiempo entre el inicio de los síntomas de cada caso de la enfermedad en cuestión, y el inicio de los síntomas en cualquier caso secundario que resulte de la transmisión de los casos primarios. En otras palabras, es el tiempo entre casos en la cadena (de ramificación) de transmisión de la enfermedad. El SI es, de hecho, una distribución estadística de tiempos de intervalo en serie, en lugar de un valor fijo. Esa distribución se puede simular, generalmente utilizando una distribución gamma discreta con una media y desviación estándar dada.
Se utilizó un ‘Serial interval’ (SI) estimado por Q. Li et al. (2020) basado en 16 casos es de 7.5 días, con una SD=3.4, pero se permitió que la media del SI variara entre 2.3 y 8.4 usando una distribución normal truncada con una SD de 2.0, y tambien variamos la SD de la SD que variara entre 0.5 y 4.0
Luego se estimó el intervalo serial basandose en los datos de He et al. (2020) (77 casos), con una media estimada en su paper de 5.8 días, aunque esta dentro de los parámetros del punto anterior estos datos serían más realistas.
La mediana del intervalo serial estimado es mu =6.6944741 y la desviación sigma =4.4140809, lo cual es diferente de lo reportado en el paper de He et al. (2020) seguramente debido a que se usaron diferentes métodos. De ahora en adelante usaremos el intervalo serial estimado por nosotros.
La fase inicial de un brote, cuando se muestra en un gráfico de semi-log (el eje y con una transformación logarítmica), aparece (algo) lineal. Esto sugiere que podemos modelar el crecimiento y decaimiento epidémico, utilizando un modelo log-lineal simple de la forma:
\[log(y) = rt + b\]
donde \(y\) es la incidencia, \(r\) es la tasa de crecimiento, \(t\) es el número de días desde un punto específico en el tiempo (generalmente el inicio del brote) y \(b\) es la ordenada de origen. Se ajustan modelos separados para distintas fases de la curva de epidemia (datos de incidencia).
La tasa de crecimiento antes del pico 2020-03-30 fue 0.25 (95% CI 0.20 - 0.31)
La tasa de crecimiento después el pico fue 0.045 (95% CI 0.0474 - 0.043).
El tiempo de duplicacion de la primer parte es es 2.8 días (95% CI 2.3 - 3.5 días)
El tiempo de duplicación de la segunda parte 15.3 días (95% CI 14.6 - 16.1 días).
Esta estimación de proyecciones requiere la estimación del R0 para las dos fases que definimos (con division en el primer pico después de la cuarentena 2020-03-30), basado en (Nouvellet et al. 2018). Tomamos solamente los casos locales.
Utilizamos los datos sobre la incidencia diaria, el intervalo de serial (tiempo entre el inicio de los infectores y los infectados) y el número de reproductivo, que se mantiene constante, para simular trayectorias de epidemia plausibles y proyectar la incidencia futura. Se basa en un proceso de ramificación donde la incidencia diaria sigue un proceso de Poisson determinado por una infecciosidad diaria, calculada como:
\[\lambda_t \sim Pois \left ( \sum_{s=1}^{t-1} y_s w(t-s) \right ) \]
donde \(w()\) es la función de masa de probabilidad del intervalo serial, y \(y_s\) es la incidencia en el tiempo \(s\).
## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 2.174 2.922 3.129 3.118 3.320 4.053
## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 1.279 1.294 1.299 1.299 1.304 1.316
Habiendo hecho todos los calculos anteriores tenemos que aclarar que los análisis basados en el \(R_0\) (el número de reproducción básico, el número esperado de casos secundarios producida por un caso primario durante su período infeccioso en una población completamente susceptible (Kermack, McKendrick, and Walker 1927)) tienen una serie de susposiciones que no se cumplen (Hébert-Dufresne et al. 2020).Esto se puede razonar de la siguiente forma, el \(R_0\) nos dice el número de infecciones producidas por un caso pero ese numero promedio tiene una gran variación (Lloyd-Smith et al. 2005). Hay situaciones en las que se producen los eventos de super-propagación que están relacionadas con individuos que tienen mayor carga viral, o mayores contactos, o situaciones en las que se propicia la transmición (encuentros de muchas personas sin distancimiento ni protección). Es decir, puede ser engañoso mirar promedios provinciales o nacionales y celebrar si \(R_0\) parece estar cayendo por debajo de 1 porque la epidemia podría estar causando estragos en lugares deteminados o entre grupos particulares. Digamos que incluso si \(R_0\) está por debajo de 1 se pueden producir brotes grandes debido a la super-propagación o simplemente por casualidad.
La linea punteada marron vertical es pico de casos local, luego las lineas punteadas rojas son las fases de la cuarentena del gobierno nacional https://www.argentina.gob.ar/coronavirus/aislamiento/fases, hasta el ASPO/DISPO https://www.boletinoficial.gob.ar/detalleAviso/primera/230245/20200608.
Datos a partir de los reportes del Ministerio de Salud
La tasa de crecimiento antes del pico 2020-03-30 fue 0.14 (95% CI 0.10 - 0.18)
La tasa de crecimiento después el pico fue 0.05 (95% CI 0.0531 - 0.0465).
El tiempo de duplicación de la primer parte es es 5.0 días (95% CI 3.9 - 6.8 días)
El tiempo de duplicación de la segunda parte 13.9 días (95% CI 13.1 - 14.9 días).
## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 1.547 1.900 2.024 2.037 2.142 2.492
## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 1.292 1.325 1.331 1.332 1.340 1.365
Tomando los Datos abiertos del ministerio de salud
Enlace de descarga directo https://sisa.msal.gov.ar/datos/descargas/covid-19/files/Covid19Casos.csv
Última fecha de actualización 2020-07-03
Los datos se actualizan por día a las 17:45, para los calculos de \(R_t\) tomo el día anterior debido a que para el ultimo día no se contabilizan todos los casos.
Número total de casos al 2020-07-03 = 29611
La tasa de crecimiento antes del pico 2020-03-30 fue 0.14 (95% CI 0.11 - 0.18)
La tasa de crecimiento después el pico fue 0.05 (95% CI 0.0535 - 0.0463).
El tiempo de duplicación de la primer parte es es 4.9 días (95% CI 4.0 - 6.3 días)
El tiempo de duplicación de la segunda parte 13.9 días (95% CI 12.9 - 15.0 días).
La tasa de crecimiento antes del pico 2020-03-30 fue 0.15 (95% CI 0.093 - 0.21)
La tasa de crecimiento después el pico fue 0.05 (95% CI 0.0526 - 0.047).
El tiempo de duplicación de la primer parte es es 4.6 días (95% CI 3.3 - 7.5 días)
El tiempo de duplicación de la segunda parte 13.9 días (95% CI 13.2 - 14.7 días).
## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 1.442 2.015 2.126 2.171 2.332 3.100
## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 1.299 1.325 1.332 1.332 1.339 1.362
El área de gran resistencia (Departamento San Fernando), tiene un gran nro de afectados y debido al interés calculamos la cantidad de fallecidos por millon y el \(R_t\).
Con un población de 390874 (Censo 2010 http://www.citypopulation.de/php/argentina-chaco_s.php?adm2id=22140)
| fallecido | fecha | n | porMillon |
|---|---|---|---|
| NO | 2020-07-02 | 1869 | 4782 |
| SI | 2020-07-02 | 91 | 233 |
Inicialmente utilizamos los datos abiertos del Ministerio de Salud. Las lineas rojas son el inicio de la quarentena y las fases del gobierno nacional.
Los datos cargados a partir de los reportes del Ministerio de Salud, tienen diferencias con los “Datos abiertos del Ministerio de Salud” en este último caso utilizamos las fechas de diagnóstico y la provincia de residencia, cuando lar provincia de residencia está SIN ESPECIFICAR se toma la provincia de carga.
| residencia_provincia_nombre | fecha | Abiertos | Reportes |
|---|---|---|---|
| Buenos Aires | 2020-07-02 | 36620 | 35045 |
| CABA | 2020-07-02 | 29484 | 28783 |
| Chaco | 2020-07-02 | 2208 | 2172 |
| Chubut | 2020-07-02 | 147 | 136 |
| Neuquén | 2020-07-02 | 528 | 503 |
| Río Negro | 2020-07-02 | 917 | 911 |
| residencia_provincia_nombre | edad | n | Porcentaje |
|---|---|---|---|
| Buenos Aires | 77.0 | 173 | 26.25 |
| CABA | 81.5 | 73 | 13.30 |
| Río Negro | 74.0 | 13 | 31.71 |
| Córdoba | 74.0 | 9 | 24.32 |
| Chaco | 70.5 | 6 | 5.77 |
| La Rioja | 83.0 | 4 | 44.44 |
| Chubut | 45.0 | 1 | 100.00 |
| Neuquén | 62.0 | 1 | 7.69 |
| edad | n | Porcentaje |
|---|---|---|
| 78 | 280 | 19.49 |
| residencia_provincia_nombre | edad | dias_hospitalizacion | dias_pre_hospitalizacion | n | Porcentaje |
|---|---|---|---|---|---|
| Buenos Aires | 73.0 | 7.0 days | 2.0 days | 486 | 7.47 |
| CABA | 76.0 | 9.0 days | 2.0 days | 476 | 6.48 |
| Chaco | 66.0 | 6.0 days | 5.0 days | 98 | 37.55 |
| Córdoba | 80.0 | 14.5 days | 3.0 days | 28 | 21.71 |
| Río Negro | 69.0 | 7.5 days | 1.0 days | 28 | 7.31 |
| Neuquén | 70.5 | 5.5 days | 1.5 days | 12 | 4.00 |
| Mendoza | 74.0 | 7.0 days | 4.5 days | 10 | 5.75 |
| La Rioja | 65.0 | 8.0 days | 3.0 days | 5 | 33.33 |
| Santa Fe | 67.0 | 10.0 days | 4.0 days | 5 | 7.25 |
| Tucumán | 63.5 | 9.0 days | 3.0 days | 5 | 26.32 |
| Misiones | 54.5 | 4.5 days | 2.0 days | 2 | 6.90 |
| Jujuy | 52.0 | 16.0 days | 6.0 days | 1 | 50.00 |
| Tierra del Fuego | 79.0 | 23.0 days | 1.0 days | 1 | 14.29 |
| fallecido | edad | dias_hospitalizacion | dias_pre_hospitalizacion | n | Porcentaje |
|---|---|---|---|---|---|
| NO | 42 | NA | 2 days | 14228 | 92.48 |
| SI | 74 | 8 days | 2 days | 1157 | 7.52 |
| residencia_provincia_nombre | edad | n | Porcentaje |
|---|---|---|---|
| CABA | 43.0 | 7349 | 24.82 |
| Buenos Aires | 45.0 | 6502 | 17.62 |
| Río Negro | 42.0 | 383 | 41.01 |
| Neuquén | 37.0 | 300 | 56.50 |
| Chaco | 58.0 | 261 | 11.82 |
| Mendoza | 37.5 | 174 | 94.57 |
| Córdoba | 71.0 | 129 | 19.11 |
| Entre Ríos | 39.5 | 78 | 24.45 |
| Santa Fe | 60.0 | 69 | 16.08 |
| Misiones | 50.0 | 29 | 70.73 |
| Salta | 37.0 | 24 | 58.54 |
| Santa Cruz | 51.0 | 23 | 43.40 |
| Tucumán | 32.0 | 19 | 23.46 |
| La Rioja | 54.0 | 15 | 16.30 |
| San Luis | 37.0 | 8 | 72.73 |
| Tierra del Fuego | 50.0 | 7 | 5.11 |
| Chubut | 62.0 | 5 | 3.38 |
| San Juan | 44.0 | 5 | 62.50 |
| Jujuy | 46.5 | 2 | 1.34 |
| Corrientes | 85.0 | 1 | 0.85 |
| La Pampa | 71.0 | 1 | 14.29 |
| Santiago del Estero | 29.0 | 1 | 3.85 |
| edad | n | Porcentaje |
|---|---|---|
| 44 | 15385 | 21.14 |
| residencia_provincia_nombre | n | Porcentaje |
|---|---|---|
| Buenos Aires | 659 | 1.79 |
| CABA | 549 | 1.85 |
| Chaco | 104 | 4.71 |
| Río Negro | 41 | 4.39 |
| Córdoba | 37 | 5.48 |
| Neuquén | 13 | 2.45 |
| Mendoza | 10 | 5.43 |
| La Rioja | 9 | 9.78 |
| Santa Fe | 5 | 1.17 |
| Tucumán | 5 | 6.17 |
| Misiones | 2 | 4.88 |
| Chubut | 1 | 0.68 |
| Jujuy | 1 | 0.67 |
| Tierra del Fuego | 1 | 0.73 |
| fallecido | n | Porcentaje |
|---|---|---|
| SI | 1437 | 1.97 |
| cuidado_intensivo | edad | dias_hospitalizacion | dias_pre_hospitalizacion | n | Porcentaje |
|---|---|---|---|---|---|
| NO | 42 | 8.0 days | 2 days | 13757 | 89.42 |
| SI | 63 | 8.5 days | 3 days | 1628 | 10.58 |
| fallecido | cuidado_intensivo | edad | dias_hospitalizacion | dias_pre_hospitalizacion | n | Porcentaje |
|---|---|---|---|---|---|---|
| NO | NO | 41 | NA | 2 days | 13206 | 92.82 |
| NO | SI | 59 | NA | 3 days | 1022 | 7.18 |
| SI | NO | 79 | 8.0 days | 1 days | 551 | 47.62 |
| SI | SI | 69 | 8.5 days | 3 days | 606 | 52.38 |
| fallecido | edad | dias_hospitalizacion | dias_pre_hospitalizacion | n | Porcentaje |
|---|---|---|---|---|---|
| NO | 59 | NA | 3 days | 1044 | 63.04 |
| SI | 69 | 8.5 days | 3 days | 612 | 36.96 |
Cori, Anne, Neil M. Ferguson, Christophe Fraser, and Simon Cauchemez. 2013. “A New Framework and Software to Estimate Time-Varying Reproduction Numbers During Epidemics.” American Journal of Epidemiology 178 (9): 1505–12. doi:10.1093/aje/kwt133.
He, Xi, Eric H. Y. Lau, Peng Wu, Xilong Deng, Jian Wang, Xinxin Hao, Yiu Chung Lau, et al. 2020. “Temporal Dynamics in Viral Shedding and Transmissibility of COVID-19.” Nature Medicine, April. Nature Publishing Group, 1–4. doi:10.1038/s41591-020-0869-5.
Hébert-Dufresne, Laurent, Benjamin M. Althouse, Samuel V. Scarpino, and Antoine Allard. 2020. “Beyond R0: Heterogeneity in Secondary Infections and Probabilistic Epidemic Forecasting,” April. http://arxiv.org/abs/2002.04004.
Kermack, William Ogilvy, A. G. McKendrick, and Gilbert Thomas Walker. 1927. “A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics.” Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 115 (772). Royal Society: 700–721. doi:10.1098/rspa.1927.0118.
Li, Qun, Xuhua Guan, Peng Wu, Xiaoye Wang, Lei Zhou, Yeqing Tong, Ruiqi Ren, et al. 2020. “Early Transmission Dynamics in Wuhan, China, of Novel Coronavirus–Infected Pneumonia.” New England Journal of Medicine 382 (13). Massachusetts Medical Society: 1199–1207. doi:10.1056/NEJMoa2001316.
Lloyd-Smith, J. O., S. J. Schreiber, P. E. Kopp, and W. M. Getz. 2005. “Superspreading and the Effect of Individual Variation on Disease Emergence.” Nature 438 (7066, 7066). Nature Publishing Group: 355–59. doi:10.1038/nature04153.
Nouvellet, Pierre, Anne Cori, Tini Garske, Isobel M. Blake, Ilaria Dorigatti, Wes Hinsley, Thibaut Jombart, et al. 2018. “A Simple Approach to Measure Transmissibility and Forecast Incidence.” Epidemics 22 (March): 29–35. doi:10.1016/j.epidem.2017.02.012.
Thompson, R. N., J. E. Stockwin, R. D. van Gaalen, J. A. Polonsky, Z. N. Kamvar, P. A. Demarsh, E. Dahlqwist, et al. 2019. “Improved Inference of Time-Varying Reproduction Numbers During Infectious Disease Outbreaks.” Epidemics 29 (December): 100356. doi:10.1016/j.epidem.2019.100356.